O resto no dia a dia: par ou ímpar, troco em notas e rodízio de placas

Par ou ímpar: o primeiro superpoder do mod

Se este módulo tivesse que eleger um destaque, seria o operador desta aula. A soma e a multiplicação todo mundo respeita; o resto passa despercebido até o dia em que você percebe que ele resolve uma família inteira de problemas que nenhum outro operador alcança. A porta de entrada é a pergunta mais antiga das brincadeiras de rua: par ou ímpar? Um número é par quando se divide por 2 sem deixar sobra. “Sem deixar sobra” tem tradução direta: numero mod 2 igual a 0. Deu resto 1, é ímpar. Não existe terceira opção, porque dividindo por 2 os únicos restos possíveis são 0 e 1.

Parece pouco? Esse teste minúsculo aparece em tudo quanto é sistema. Planilhas e tabelas pintam as linhas alternadas (a linha de número par recebe uma cor, a ímpar recebe outra) usando exatamente linha mod 2. Jogos alternam turnos entre dois jogadores com rodada mod 2. Prédios separam elevador de andar par e ímpar. Quando você chegar às decisões do módulo 8, o teste vai virar a condição de um SE: se numero mod 2 for 0, faça isso; senão, faça aquilo. A ferramenta nasce aqui.

Troco em notas e rodízio de placas

Segundo superpoder: distribuir um valor em pacotes de tamanhos diferentes, o famoso troco em notas. Como um caixa eletrônico entrega 87 reais gastando o mínimo de notas? Ele pensa em cascata, da nota maior para a menor. Quantas notas de 50 cabem em 87? A conta é 87 div 50, que dá 1, e sobra 87 mod 50, que dá 37. O algoritmo repassa os 37 para a nota de 20: 37 div 20 dá 1 nota, sobra 17. A de 10 leva 1, sobra 7; a de 5 leva 1, sobra 2; a de 2 leva 1, sobra 0. Resultado: uma nota de cada, e o div e o mod trabalhando em revezamento, um entregando notas, o outro passando a sobra adiante.

valor <- 87
notas50 <- valor div 50
// 1 nota de 50
sobra <- valor mod 50
// sobra 37
notas20 <- sobra div 20
// 1 nota de 20
sobra <- sobra mod 20
// sobra 17
notas10 <- sobra div 10
// 1 nota de 10
sobra <- sobra mod 10
// sobra 7: e a cascata continua com 5 e 2

A cascata do caixa eletrônico: div entrega as notas, mod passa a sobra para a próxima.

Terceiro superpoder: extrair o dígito final de um número. O rodízio de veículos de São Paulo restringe os carros pelo FINAL da placa: finais 1 e 2 na segunda-feira, 3 e 4 na terça, e assim por diante. Como um algoritmo descobre o final de uma placa numérica como 4738? Dividindo por 10 e olhando a sobra: 4738 mod 10 dá 8, porque 473 dezenas completas somam 4730 e sobra exatamente o último dígito. Qualquer sistema que decide algo pelo dígito final (rodízio, sorteio pela terminação, último número do CPF) está fazendo mod 10 por trás.

Ciclos: o mod como volta completa no relógio

O último superpoder é o mais elegante: calcular posições em ciclos que se repetem. São 20 horas e o voo dura 15: chega às 35 horas? Não existe hora 35; o relógio dá a volta, e a resposta é (20 + 15) mod 24, que dá 11 da manhã do dia seguinte. Hoje é quarta e a fatura vence em 100 dias: contando quarta como dia 3 da semana (domingo é 0), o vencimento cai no dia (3 + 100) mod 7, que dá 5, uma sexta-feira. Um restaurante com 4 garçons revezando as mesas em ordem manda a mesa de número 14 para o garçom 14 mod 4, o de número 2. Sempre que algo gira em círculo de N posições, o mod N diz onde você para.

Feche o módulo guardando o mapa da aula: mod 2 responde par ou ímpar; div e mod em cascata montam o troco; mod 10 pega o dígito final; mod N localiza qualquer coisa num ciclo de N posições. São quatro caras do mesmo operador, e todas nasceram da regra de ouro da aula 2: o resto gira entre 0 e N menos 1, sempre. No módulo 6 as comparações entram em cena, e no módulo 8 esses testes viram decisões de verdade, com o algoritmo escolhendo caminhos sozinho. O mod vai junto: ele é matéria-prima de condição.