Lei dos Senos e dos Cossenos
Resolva qualquer triângulo com a lei dos senos e a lei dos cossenos. Informe três lados, dois lados e o ângulo entre eles, dois ângulos e um lado, ou o caso ambíguo, e veja lados, ângulos, área e o passo a passo.
Escolha quais dados você tem - três lados, dois lados e o ângulo entre eles, dois ângulos e um lado ou dois lados e um ângulo oposto - e a calculadora resolve o triângulo com a lei dos senos e a lei dos cossenos, alertando o caso ambíguo.
Como funciona este cálculo
A lei dos cossenos relaciona os três lados e um ângulo, e serve quando há um ângulo entre dois lados ou quando os três lados são conhecidos. A lei dos senos relaciona lados e os ângulos opostos, e resolve os demais casos. A soma dos ângulos internos é sempre 180 graus.
Para o passo a passo, veja o guia de lei dos senos e dos cossenos. Para o triângulo retângulo, use a calculadora de trigonometria.
Fórmula
a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A)
A + B + C = 180 graus
Area = raiz(s(s-a)(s-b)(s-c)), com s = (a+b+c)/2
Base: lei dos senos, lei dos cossenos e fórmula de Heron. Cálculo determinístico e auditável.
Limitações
- Ângulos em graus. Cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois.
- No caso lado, lado, ângulo, pode haver nenhum, um ou dois triângulos.
- Valores muito próximos dos limites podem ter pequeno arredondamento.
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Atualizado em . Fontes: Lei dos senos, lei dos cossenos e fórmula de Heron.
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Perguntas frequentes
Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?
Use a lei dos senos quando conhece um lado e o ângulo oposto a ele, mais um outro elemento, como em dois ângulos e um lado ou dois lados e um ângulo oposto. Use a lei dos cossenos quando conhece os três lados ou dois lados e o ângulo entre eles. Em resumo, a lei dos cossenos resolve os casos com o ângulo entre dois lados ou com os três lados, e a lei dos senos resolve os demais.
Qual é a fórmula da lei dos senos?
A lei dos senos diz que, em qualquer triângulo, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante. Em fórmula, o lado a dividido pelo seno de A é igual ao lado b dividido pelo seno de B, que é igual ao lado c dividido pelo seno de C. Essa razão constante é igual ao diâmetro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo.
Qual é a fórmula da lei dos cossenos?
A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo. Ela diz que o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto deles pelo cosseno do ângulo entre eles. Em fórmula, a ao quadrado é igual a b ao quadrado mais c ao quadrado menos 2 vezes b vezes c vezes o cosseno de A. Quando A é 90 graus, o cosseno é zero e a fórmula vira o teorema de Pitágoras.
O que é o caso ambíguo?
O caso ambíguo acontece quando conhecemos dois lados e um ângulo oposto a um deles, a situação chamada de lado, lado, ângulo. Dependendo dos valores, pode existir nenhum, um ou dois triângulos diferentes que satisfazem esses dados. Isso ocorre porque o seno de dois ângulos suplementares é igual, então a lei dos senos pode apontar duas medidas possíveis para o ângulo procurado. A calculadora detecta e mostra as duas soluções quando elas existem.
A lei dos cossenos funciona em triângulo retângulo?
Sim. O triângulo retângulo é um caso particular. Quando o ângulo vale 90 graus, o cosseno é zero, e a lei dos cossenos se reduz exatamente ao teorema de Pitágoras, em que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Por isso dizemos que a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para ângulos quaisquer, e não apenas para o ângulo reto.
Como calcular a área do triângulo com esses dados?
Quando conhecemos os três lados, usamos a fórmula de Heron, que parte do semiperímetro, a metade da soma dos lados. Quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, a área é metade do produto desses dois lados pelo seno do ângulo. A calculadora mostra a área automaticamente em todos os modos, junto com os lados, os ângulos e o perímetro do triângulo resolvido.