Calculadora de Média Geométrica
Calcule a média geométrica de 2 a 50 números positivos ou a taxa média composta de variações em porcentagem, comparada com a média aritmética e com a conta passo a passo.
Média geométrica
6
raiz quadrada do produto de 2 números · conta feita pela média dos logaritmos
Média aritmética
6,5
Aritmética menos geométrica
0,5
Quantidade
2
Produto
36
A média aritmética dos mesmos números é 6,5, maior que a geométrica. Isso sempre acontece quando os números não são todos iguais.
Números considerados: 4; 9
Como chegamos nesse número
- Valores informados (n = 2): 4 e 9.
- Produto dos valores: 4 × 9 = 36.
- Média geométrica = raiz quadrada de 36 = 36^(1/2) = 6.
- Pelos logaritmos naturais: soma dos ln dos valores = 3,583519; dividida por 2 = 1,791759; e^1,791759 = 6.
- Média aritmética dos mesmos valores: soma 13 dividida por 2 = 6,5.
- A média aritmética (6,5) fica acima da geométrica (6) por 0,5. As duas só empatam quando todos os valores são iguais.
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A média geométrica de n números positivos é a raiz de índice n do produto deles: a de 4 e 9 é a raiz quadrada de 36, que dá 6. Digite os números, ou as taxas de cada período no modo de taxa média, e a calculadora mostra o resultado, a média aritmética para comparar e a conta passo a passo.
Como funciona o cálculo
Multiplique os n números e tire a raiz de índice n do produto. Com dois números é a raiz quadrada; com três, a raiz cúbica. A calculadora chega ao mesmo resultado pela média dos logaritmos: soma o logaritmo natural de cada valor, divide pela quantidade e eleva o número e ao resultado. Esse caminho não estoura. Cinquenta valores de um bilhão têm um produto com 451 algarismos, grande demais para a conta comum do navegador, e a média geométrica deles continua sendo 1.000.000.000.
A média geométrica é a certa para o que se multiplica. Uma alta de 20% seguida de uma queda de 20% não devolve o valor ao ponto de partida: R$ 100 viram R$ 120 e depois R$ 96. A média aritmética das duas taxas é zero, mas a taxa média composta, que sai da média geométrica dos fatores 1,2 e 0,8, é de -2,02% por período. É por isso que rendimento, reajuste e crescimento pedem média geométrica.
A média aritmética dos mesmos números nunca fica abaixo da geométrica, e as duas só empatam quando todos os números são iguais. É a desigualdade entre as médias, e a calculadora mostra as duas lado a lado: com 4 e 9, a aritmética dá 6,5 e a geométrica, 6.
O IBGE usa essa conta em dois indicadores. A taxa média geométrica de crescimento anual da população é ((população final / população inicial)^(1/anos) - 1) x 100: entre os Censos de 2010 e 2022, a população foi de 190.755.799 para 203.062.512 habitantes, e a taxa ficou em 0,52% ao ano. E no método de cálculo dos índices de preços ao consumidor (5ª edição, 2007), a variação de preço de cada subitem é a média geométrica dos relativos de preço dos produtos que o compõem, regra adotada a partir de janeiro de 1994.
Para a média simples e a ponderada, use a calculadora de média. Para raízes de qualquer índice, a calculadora de potência e raiz, e para dinheiro que rende mês a mês, a calculadora de juros compostos. A explicação de cada tipo de média, com exercícios, está no guia dos tipos de média.
Fórmula
G = (x1 × x2 × ... × xn)^(1/n)
G = e^((ln x1 + ln x2 + ... + ln xn) / n)
Taxa média = ((1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn))^(1/n) - 1
Média aritmética ≥ média geométrica (iguais só com todos os valores iguais)
Base: definição e desigualdade das médias (Licio H. Bezerra, UFSC), taxa média geométrica de crescimento (IBGE, Censo Demográfico 2022) e método de cálculo dos índices de preços ao consumidor (IBGE). Conta determinística, feita no navegador.
Exemplo com números
Um investimento rendeu 10% no primeiro ano, perdeu 5% no segundo e rendeu 20% no terceiro. Qual foi a taxa média por ano?
O que foi informado
- Modo
- Taxa média (%)
- Taxas
- 10%; -5%; 20%
O que a calculadora devolve
- Taxa média composta
- 7,84% ao ano
- Variação acumulada
- 25,4%
- Média aritmética das taxas
- 8,33%
- Acumulado pela média aritmética
- 27,14%
Quem resumisse o investimento pela média aritmética, 8,33% ao ano, chegaria a 27,14% em três anos. O dinheiro rendeu 25,4%, e a taxa composta de 7,84% ao ano, repetida nos três anos, leva a esse mesmo acumulado.
Os números acima saem da mesma função que a calculadora usa quando você preenche o formulário. Troque os valores no formulário para ver o seu caso.
Limitações
- Só números positivos. Com zero o produto zera, e com negativos a raiz pode não existir. Quedas entram pelo modo de taxa média, que transforma -5% no fator 0,95.
- De 2 a 50 números, de até 1.000.000.000 e com até 6 casas decimais. No modo de taxa média, cada taxa precisa ser maior que -100% e de no máximo 10.000% por período, com até 4 casas.
- A taxa média composta supõe períodos de mesma duração: todos meses ou todos anos.
- O resultado aparece arredondado em até 6 casas decimais.
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Atualizado em . Fontes: Estatística (média geométrica) e IBGE (taxa média geométrica de crescimento).
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Fontes oficiais
- IBGE, Censo Demográfico 2022: População e Domicílios, Primeiros Resultados
- IBGE, Indicadores Sociais Mínimos: conceitos
- IBGE, Índices de Preços ao Consumidor: métodos de cálculo, 5ª edição (2007)
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Perguntas frequentes
O que é média geométrica?
A média geométrica de n números positivos é a raiz de índice n do produto desses números. Ela responde a uma pergunta simples: que valor, repetido n vezes numa multiplicação, dá o mesmo produto? Para 4 e 9, o produto é 36 e a raiz quadrada de 36 é 6, porque 6 vezes 6 também dá 36.
Como calcular a média geométrica de 3 números?
Multiplique os três números e tire a raiz cúbica do resultado. Com 1, 3 e 9, o produto é 27 e a raiz cúbica de 27 é 3. Na calculadora, basta digitar 1 3 9. Ela mostra também a média aritmética dos mesmos números, 4,333333, que fica acima da geométrica sempre que os valores não são todos iguais.
Qual a diferença entre média aritmética e média geométrica?
A média aritmética soma os valores e divide pela quantidade; a geométrica multiplica os valores e tira a raiz. A aritmética é a média certa para grandezas que se somam, como notas e alturas. A geométrica é a certa para o que se multiplica, como taxas de crescimento, reajustes e proporções. Para os mesmos números positivos, a aritmética nunca fica abaixo da geométrica, e as duas só coincidem quando todos os números são iguais.
Quando usar a média geométrica?
Use a média geométrica quando os números entram na conta multiplicando: rendimentos de vários anos, reajustes sucessivos, crescimento de população, índices de preços. Uma alta de 20% seguida de uma queda de 20% leva R$ 100 a R$ 96, e a média aritmética das duas taxas, zero, esconde essa perda. A taxa média composta, tirada da média geométrica dos fatores 1,2 e 0,8, é de -2,02% por período e reproduz o resultado real.
Por que a média geométrica não aceita zero nem número negativo?
Com um zero na lista, o produto vira zero e a média geométrica também, qualquer que seja o resto dos números, e o logaritmo de zero não existe. Com números negativos, a raiz de índice par do produto pode nem existir entre os números reais. Por isso a definição dos livros vale para números positivos. Uma variação negativa, como uma queda de 5%, entra pelo modo de taxa média, que converte -5% no fator 0,95.
Como calcular a taxa média de crescimento com a média geométrica?
Transforme cada taxa num fator (1 + taxa / 100), multiplique os fatores, tire a raiz de índice igual ao número de períodos e subtraia 1. Para +10%, -5% e +20%, os fatores são 1,1, 0,95 e 1,2, o produto é 1,254 e a raiz cúbica dá 1,078365: uma taxa média de 7,84% por período. O IBGE usa a mesma conta na taxa média geométrica de crescimento anual da população, que ficou em 0,52% ao ano entre os Censos de 2010 e 2022.
Existe média geométrica ponderada?
Existe. Cada valor é elevado ao seu peso, os resultados são multiplicados e a raiz tem índice igual à soma dos pesos: G = (x1^p1 × x2^p2 × ... × xn^pn)^(1/(p1 + p2 + ... + pn)). Quando todos os pesos valem 1, a fórmula volta a ser a média geométrica simples. Esta calculadora faz a versão simples, em que todos os números têm o mesmo peso.