Calculadora de Racionalização de Denominadores
Racionalize frações com raiz no denominador: raiz quadrada, raiz cúbica ou de outro índice e soma ou diferença com raiz, pelo conjugado. Veja a forma exata simplificada, o passo a passo de cada multiplicação e a conferência em decimal.
Fração com o denominador racionalizado
1/√2 = √2/2
Conferência: a fração vale 0,7071067812 antes e 0,7071067812 depois, com 10 algarismos significativos. Conta exata, feita no seu navegador.
- Fator racionalizante
- √2
- Denominador final
- 2
- Valor decimal
- ≈ 0,707107
Passo a passo da racionalização
- O fator racionalizante é √2. Multiplicar numerador e denominador por ele não muda o valor, porque √2/√2 = 1, e √2 · √2 = 2 tira a raiz de baixo.
- Multiplicando em cima e embaixo pelo fator: 1/√2 · √2/√2 = √2/√(2²) = √2/2.
- Resultado: 1/√2 = √2/2. Conferência em decimal: antes ≈ 0,7071067812, depois ≈ 0,7071067812.
Exemplos resolvidos de racionalização
Frações que aparecem em listas de exercício, resolvidas pelo mesmo cálculo da calculadora: o fator que multiplica numerador e denominador e a forma exata depois de simplificar o radical e a fração.
| Fração | Multiplique por | Racionalizada |
|---|---|---|
| 1/√2 | √2 | √2/2 |
| 1/√3 | √3 | √3/3 |
| 2/√2 | √2 | √2 |
| 1/√8 | √8 | √2/4 |
| 6/(2√3) | √3 | √3 |
| 3/(2√5) | √5 | 3√5/10 |
| 1/∛2 | ∛(2²) | ∛4/2 |
| 2/∜(5³) | ∜5 | 2∜5/5 |
| 1/(√2 - 1) | √2 + 1 | √2 + 1 |
| 3/(2 + √3) | 2 - √3 | 6 - 3√3 |
| 5/(√7 + √3) | √7 - √3 | 5(√7 - √3)/4 |
| 1/(√5 - √3) | √5 + √3 | (√5 + √3)/2 |
O fator vai em cima e embaixo ao mesmo tempo, o que equivale a multiplicar por 1: o valor decimal da fração é o mesmo antes e depois, e a calculadora acima mostra essa conferência.
Para fazer a racionalização de denominadores, multiplique o numerador e o denominador pelo fator racionalizante: a própria raiz em a/√b, a raiz que completa o índice em a/ⁿ√b e o conjugado quando o denominador é uma soma ou diferença com raiz. A calculadora faz a conta exata, simplifica o radical e a fração e confere em decimal que o valor não mudou.
Como funciona o cálculo
A calculadora faz a conta toda com números inteiros. Primeiro ela testa se a raiz do denominador é exata, como √9 ou ∛8: nesse caso não há o que racionalizar, e ela mostra a conta direta. Se não for, ela escolhe o fator racionalizante, multiplica em cima e embaixo, simplifica o radical do numerador (√8 = 2√2) e divide a fração pelo mdc. No fim, passa o sinal de menos para o numerador e compara o decimal de antes com o de depois.
Com raiz quadrada sozinha, o fator é a própria raiz: 1/√3 = √3/3. Com raiz de outro índice, o fator completa o expoente do radicando até o índice: 1/∛2 pede ∛(2²), e o resultado é ∛4/2. Com soma ou diferença, o fator é o conjugado, a mesma expressão com o sinal do meio trocado: em 3/(2 + √3), o produto (2 + √3)(2 - √3) dá 4 - 3 = 1, e a fração vira 6 - 3√3.
Por que se racionaliza o denominador
É uma convenção de escrita: a resposta final costuma vir sem raiz no denominador, e a convenção tem motivo prático. Com denominadores inteiros, somar frações com raiz segue a regra de sempre: 1/√2 + 1/√8 vira √2/2 + √2/4 = 3√2/4. E estimar o valor fica mais fácil, porque dividir 1,4142 por 2 de cabeça é mais simples que dividir 1 por 1,4142.
Para revisar o que vem antes, a calculadora de raiz quadrada simplifica radicais e a calculadora de potência e raiz trata raízes de qualquer índice. Para a etapa final, a simplificação de fração mostra o mdc passo a passo, e o guia de propriedades da potenciação e da radiciação explica por que a raiz de um produto é o produto das raízes.
Fórmula
a/√b = a·√b/b
a/ⁿ√(b^m) = a·ⁿ√(b^(n-m))/b, com m menor que n
a/(x + y) = a(x - y)/(x² - y²)
Base: propriedades da raiz n-ésima, como no módulo de Potenciação do Portal da OBMEP (IMPA), e o produto da soma pela diferença, com os exemplos da apostila de Matemática Básica da Fundação CECIERJ. Conta exata e auditável, sem arredondamento no meio do caminho.
Exemplo com números
Fração 3/(2 + √3): um inteiro somado a uma raiz no denominador.
O que foi informado
- Formato
- a/(b ± √c)
- Numerador (a)
- 3
- Parte inteira (b)
- 2
- Radicando (c)
- 3
O que a calculadora devolve
- Fator racionalizante
- 2 - √3
- Denominador final
- 1
- Fração racionalizada
- 6 - 3√3
- Valor antes e depois
- ≈ 0,8038
O conjugado de 2 + √3 é 2 - √3. Embaixo, 4 - 3 = 1, e a raiz some; em cima fica 3(2 - √3) = 6 - 3√3.
Os números acima saem da mesma função que a calculadora usa quando você preenche o formulário. Troque os valores no formulário para ver o seu caso.
Limitações
- Coeficientes inteiros: numerador entre -10.000 e 10.000 e radicandos de 1 a 10.000. Na raiz de índice n, índice de 2 a 10 e base de até 1.000 em valor absoluto.
- Denominador com três parcelas, como 1/(1 + √2 + √3), ou com raízes de índices diferentes fica de fora: ele pede a racionalização em mais de uma etapa.
- Raiz de índice par de número negativo não existe nos números reais, e a calculadora recusa.
- No formato a/ⁿ√(b^m), o expoente m precisa ser menor que o índice n. Com m maior, simplifique o radical antes.
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Perguntas frequentes
O que é racionalização de denominadores?
É a técnica de reescrever uma fração que tem raiz no denominador como outra fração de mesmo valor, sem raiz embaixo. Você multiplica o numerador e o denominador pelo mesmo número, o fator racionalizante, e isso equivale a multiplicar a fração por 1. Por exemplo, 1/√2 vira √2/2, e as duas valem cerca de 0,7071.
Como racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador?
Multiplique o numerador e o denominador pela mesma raiz que está embaixo. Em 1/√3, o fator é √3: em cima fica √3 e embaixo √3 · √3 = 3, então 1/√3 = √3/3. Se houver um número antes da raiz, ele continua no denominador: 6/(2√3) vira 6√3/6, que simplifica para √3.
O que é o conjugado e quando usar?
O conjugado de uma expressão com duas parcelas é a mesma expressão com o sinal do meio trocado: o conjugado de √2 - 1 é √2 + 1. Ele resolve denominadores com soma ou diferença, porque (x + y)(x - y) = x² - y² e o quadrado de uma raiz quadrada é o próprio radicando. Em 1/(√2 - 1), o denominador vira 2 - 1 = 1, e a fração fica √2 + 1.
Como racionalizar 5/(√7 + √3)?
Multiplique em cima e embaixo pelo conjugado √7 - √3. Embaixo fica (√7)² - (√3)² = 7 - 3 = 4; em cima, 5(√7 - √3). O resultado é 5(√7 - √3)/4, que vale cerca de 1,1421, o mesmo valor de 5/(√7 + √3). O exemplo aparece resolvido na apostila de Matemática Básica da Fundação CECIERJ.
Como racionalizar raiz cúbica no denominador?
Multiplique por uma raiz de mesmo índice que complete o expoente do radicando até o índice. Em 1/∛2, o expoente do 2 é 1 e o índice é 3, então falta 2: o fator é ∛(2²) = ∛4, e embaixo fica ∛(2³) = 2. Resultado: ∛4/2. A regra vale para qualquer índice: em 2/∜(5³) falta 1, o fator é ∜5 e a fração vira 2∜5/5.
Por que racionalizar o denominador?
Por convenção de escrita: a resposta final costuma vir sem raiz no denominador. A convenção também ajuda na conta. Com denominadores inteiros, somar frações com raiz segue a regra de sempre: 1/√2 + 1/√8 vira √2/2 + √2/4 = 3√2/4. E estimar o valor fica mais fácil, porque dividir 1,4142 por 2 de cabeça é mais simples que dividir 1 por 1,4142.
Racionalizar muda o valor da fração?
Não. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de zero equivale a multiplicar por 1, e o valor continua o mesmo. A calculadora confere isso em decimal: 3/(2 + √3) e 6 - 3√3 valem, os dois, cerca de 0,8038. Muda só a forma de escrever o número.
Quando não é preciso racionalizar?
Quando a raiz do denominador é exata. Em 3/√9, a raiz de 9 é 3 e a fração é só 3/3 = 1; em 1/∛8, a raiz cúbica de 8 é 2 e a resposta é 1/2. A calculadora reconhece esses casos, avisa que não há o que racionalizar e mostra a conta direta.