Calculadora de PA e PG (Progressões)
Calcule progressão aritmética (PA) e geométrica (PG): informe o primeiro termo, a razão e o número de termos e veja o termo geral, a soma dos termos e os primeiros termos, com a memória de cálculo passo a passo.
Escolha entre PA (soma uma razão) e PG (multiplica por uma razão), informe o primeiro termo, a razão e o número de termos. A calculadora mostra o termo geral, a soma dos termos e os primeiros termos da sequência, com o passo a passo.
Como funciona este cálculo
Na progressão aritmética, cada termo é o anterior mais a razão; o termo geral é an = a1 + (n-1)·r e a soma é Sn = n·(a1+an)/2. Na progressão geométrica, cada termo é o anterior vezes a razão; o termo geral é an = a1·q^(n-1) e a soma é Sn = a1·(q^n-1)/(q-1).
Para o passo a passo com exemplos, veja o guia de PA e PG. A PG se conecta aos juros compostos.
Fórmula
PA: an = a1 + (n-1)·r ; Sn = n·(a1 + an)/2
PG: an = a1·q^(n-1) ; Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
Base: álgebra (progressões aritmética e geométrica, termo geral e soma). Cálculo determinístico e auditável.
Limitações
- O número de termos é um inteiro positivo (a calculadora limita a 1000 termos).
- Em PG com razão grande, os valores crescem muito rápido e podem ficar enormes.
- Ferramenta educativa de álgebra; confira o passo a passo para aprender o método.
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Atualizado em . Fontes: Álgebra (progressões aritmética e geométrica).
Perguntas frequentes
O que é uma progressão aritmética (PA)?
É uma sequência de números em que cada termo é igual ao anterior somado de um valor fixo, chamado de razão. Por exemplo, 2, 5, 8, 11 é uma PA de razão 3, porque sempre se soma 3. A PA descreve crescimentos ou quedas constantes, como uma economia mensal fixa.
O que é uma progressão geométrica (PG)?
É uma sequência em que cada termo é igual ao anterior multiplicado por um valor fixo, chamado de razão. Por exemplo, 3, 6, 12, 24 é uma PG de razão 2, porque sempre se multiplica por 2. A PG descreve crescimentos ou quedas proporcionais, como juros compostos e populações.
Como calcular o termo geral da PA e da PG?
Na PA, o termo de posição n é an = a1 + (n - 1) vezes a razão. Na PG, é an = a1 vezes a razão elevada a (n - 1). Por exemplo, o 10º termo de uma PA que começa em 2 com razão 3 é 2 + 9 vezes 3, igual a 29. A calculadora aplica essas fórmulas automaticamente.
Como calcular a soma dos termos?
Na PA, a soma dos n primeiros termos é n vezes (a1 mais an) dividido por 2. Na PG, é a1 vezes (razão elevada a n menos 1) dividido por (razão menos 1). Essas fórmulas evitam somar termo a termo. Por exemplo, a soma dos números de 1 a 100 é 100 vezes (1 mais 100) dividido por 2, igual a 5050.
Qual a diferença entre PA e PG?
Na PA, você soma a razão para passar de um termo ao próximo; na PG, você multiplica. Por isso a PA cresce de forma linear (em linha reta) e a PG cresce de forma exponencial (cada vez mais rápido). Juros simples seguem uma PA, e juros compostos seguem uma PG.
Onde PA e PG aparecem no dia a dia?
A PA aparece em economias mensais fixas, em parcelas iguais e em numerações. A PG aparece em juros compostos, no crescimento de populações e de investimentos, e na divisão de células. Reconhecer se uma situação soma ou multiplica por uma razão indica qual progressão usar.