Calculadora de Fatoração Algébrica

Fatoração algébrica é reescrever uma expressão algébrica como produto de fatores, ou seja, trocar uma soma de termos por uma multiplicação. 6x³ + 9x² - 3x fatorada fica 3x(2x² + 3x - 1), e x² - 9 fica (x + 3)(x - 3). A forma fatorada é a que simplifica frações algébricas e resolve equações, porque um produto só vale zero quando um dos fatores vale zero.

Calcule o MDC dos coeficientes, junte a ele cada letra que aparece em todos os termos, com o menor expoente que ela tem, e divida cada termo por esse fator. Em 6x³ + 9x² - 3x, o MDC de 6, 9 e 3 é 3 e a letra x está em todos os termos, então o fator comum é 3x e a expressão vira 3x(2x² + 3x - 1). Multiplicando o fator comum por cada termo dos parênteses, a expressão de partida volta inteira.

Separe os termos em grupos (com quatro termos, em dois pares), ponha o fator comum de cada grupo em evidência e confira se sobra o mesmo fator entre parênteses. Se sobrar, esse fator vai para fora. Em x³ + 2x² + 3x + 6, os pares (x³ + 2x²) + (3x + 6) viram x²(x + 2) + 3(x + 2), e o binômio repetido leva a (x + 2)(x² + 3). Com letras o caminho é o mesmo: ax + ay + bx + by = (x + y)(a + b).

A fatoração por agrupamento não funciona quando nenhum jeito de juntar os termos deixa o mesmo fator em todos os grupos. Com 4 termos há 3 jeitos de formar pares, e em x³ + x² + x + 2 nenhum serve: o primeiro dá x²(x + 1) + 1(x + 2), com fatores diferentes nos parênteses. A calculadora mostra as tentativas e avisa que a expressão não fatora por esses casos, o que não prova que ela seja irredutível.

A fatoração em números primos decompõe um número inteiro num produto de primos. A fatoração algébrica decompõe uma expressão com letras, como 6x³ + 9x² - 3x, num produto de expressões menores. As duas se encontram no fator comum: o número que vai para fora dos parênteses é o MDC dos coeficientes, que pode ser calculado pela decomposição em primos. Para números, use a calculadora de fatoração em números primos; para expressões, esta.

Escreva cada termo como um quadrado e use a regra a² - b² = (a + b)(a - b), a soma das raízes vezes a diferença delas. Em x² - 9, os dois termos são quadrados perfeitos, então x² - 9 = (x + 3)(x - 3). A regra pede um termo positivo e outro negativo: uma soma de quadrados não fatora assim. Às vezes um dos fatores ainda é diferença de quadrados, como em x⁴ - 1 = (x² + 1)(x + 1)(x - 1).

Trinômio quadrado perfeito é o trinômio que sai do quadrado de um binômio: a² + 2ab + b² = (a + b)² e a² - 2ab + b² = (a - b)². Para reconhecer, veja se dois termos são quadrados perfeitos e se o terceiro é o dobro do produto das raízes deles. Em 4a² - 12ab + 9b², as duas condições valem e a forma fatorada é (2a - 3b)². Se o termo do meio não for exatamente esse dobro, o trinômio não é quadrado perfeito.

Multiplique os fatores de volta, pela propriedade distributiva: o resultado tem de ser a expressão de partida, termo a termo. (x + 1)²(x - 1), multiplicado, dá x³ + x² - x - 1, então a fatoração está certa. A calculadora faz essa conferência em toda resposta e só mostra a forma fatorada quando a multiplicação devolve exatamente a expressão digitada.