Ciclo trigonométrico: seno e cosseno de qualquer ângulo
Digite qualquer ângulo, mesmo negativo ou com várias voltas, e veja a redução ao primeiro quadrante, a conversão para radianos em frações de pi e os valores de seno, cosseno e tangente, exatos nos ângulos notáveis. A página também resolve equações trigonométricas simples e desenha o círculo unitário com o ângulo marcado. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona o ciclo trigonométrico
A trigonometria nasce no triângulo retângulo, mas lá ela só alcança ângulos entre zero e noventa graus. O ciclo trigonométrico quebra essa limitação: num círculo de raio um, cada ângulo, medido a partir do eixo horizontal no sentido anti-horário, determina um ponto. A abscissa do ponto é o cosseno e a ordenada é o seno. Com essa definição, faz sentido falar em seno de 150, de 270 ou de 750 graus, e as funções trigonométricas ganham as suas propriedades de periodicidade.
A ferramenta central é a redução ao primeiro quadrante. Primeiro removem-se as voltas completas, achando o ângulo côngruo entre 0 e 360 graus. Depois identifica-se o quadrante e o arco de referência, a distância até o eixo horizontal. O valor do seno e do cosseno é o do arco de referência, e o quadrante decide o sinal: seno positivo na metade de cima, cosseno positivo na metade da direita. Assim, sen 150 é o mesmo sen 30, que vale meio, porque 150 está no segundo quadrante, onde o seno ainda é positivo.
Esse mecanismo também resolve equações. Para sen x igual a um valor k, procura-se o arco de referência cujo seno é o módulo de k, e os quadrantes com o sinal certo dão as duas soluções de cada volta. A tangente, quociente do seno pelo cosseno, tem período de cento e oitenta graus e não é definida onde o cosseno zera. E os radianos, a outra unidade de ângulo, relacionam-se com os graus pela proporção em que 180 graus equivalem a pi radianos, o que gera as frações de pi tão comuns no ensino médio e no ENEM.
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O ciclo completa a trigonometria do triângulo. Estude a trigonometria no triângulo retângulo, a lei dos senos e dos cossenos e explore o portal de matemática. Para vetores e ângulos no plano, veja a calculadora de vetores.
Perguntas frequentes
- O que e o ciclo trigonometrico?
- E um circulo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano, usado para definir seno, cosseno e tangente de qualquer angulo, e nao so dos angulos agudos do triangulo retangulo. Cada angulo corresponde a um ponto do circulo: a abscissa desse ponto e o cosseno e a ordenada e o seno. Com ele, as funcoes trigonometricas passam a valer para 0, 90, 180, 270 graus, angulos maiores que 360 e ate negativos.
- Como reduzir um angulo ao primeiro quadrante?
- Primeiro encontra-se o congruo: remove-se as voltas completas de 360 graus ate cair entre 0 e 360. Depois identifica-se o quadrante e o arco de referencia, que e a distancia ate o eixo horizontal. O seno e o cosseno do angulo original sao os do arco de referencia, com o sinal do quadrante: seno positivo em cima (quadrantes 1 e 2) e cosseno positivo a direita (quadrantes 1 e 4).
- Quais sao os valores notaveis de seno e cosseno?
- Os angulos de 0, 30, 45, 60 e 90 graus tem valores exatos que vale memorizar: o seno vale 0, 1/2, raiz de 2 sobre 2, raiz de 3 sobre 2 e 1, nessa ordem, e o cosseno percorre a mesma lista ao contrario. Todos os outros multiplos notaveis (120, 135, 150, 210...) saem desses por simetria no ciclo, trocando apenas o sinal.
- Por que a tangente nao existe em 90 e 270 graus?
- A tangente e o quociente do seno pelo cosseno. Em 90 e 270 graus o cosseno vale zero, e a divisao por zero nao e definida. No ciclo, isso corresponde ao ponto mais alto e ao mais baixo do circulo, onde a reta tangente vertical nunca e cruzada pelo prolongamento do raio.
- Como resolver uma equacao como sen x = 1/2?
- Encontra-se o arco de referencia (30 graus, pois sen 30 = 1/2) e olham-se os quadrantes em que o seno e positivo: o primeiro e o segundo. As solucoes em uma volta sao 30 e 150 graus. A forma geral soma multiplos de 360 graus a cada uma. Se o valor pedido estiver fora do intervalo de -1 a 1, a equacao nao tem solucao, pois seno e cosseno nunca saem dessa faixa.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Voce digita o angulo ou o valor de k, e o resultado aparece em notacao matematica, com o circulo trigonometrico desenhado e o passo a passo da resolucao.