Calculadora de Polígono Irregular
Calcule a área de polígonos irregulares pelas coordenadas dos vértices, com a fórmula de Gauss, e veja perímetro, lados, ângulos internos, desenho da figura e aviso quando os lados se cruzam.
Área do pentágono
52
fórmula de Gauss com os 5 vértices · área na unidade das coordenadas, ao quadrado
Perímetro
28
Soma dos ângulos internos
540°
Lados e ângulos
Irregular
Forma
Convexo
| Lado | Medida | Ângulo em |
|---|---|---|
| AB | 8 | A: 90° |
| BC | 5 | B: 90° |
| CD | 5 | C: 126,8699° |
| DE | 5 | D: 106,2602° |
| EA | 5 | E: 126,8699° |
Como chegamos nesse número
- Vértices na ordem do contorno: A(0; 0), B(8; 0), C(8; 5), D(4; 8), E(0; 5).
- Fórmula de Gauss: para cada lado, x do vértice × y do próximo - x do próximo × y do vértice.
- AB: 0 × 0 - 8 × 0 = 0.
- BC: 8 × 5 - 8 × 0 = 40.
- CD: 8 × 8 - 4 × 5 = 44.
- DE: 4 × 5 - 0 × 8 = 20.
- EA: 0 × 0 - 0 × 5 = 0.
- Soma dos termos = 104 (positiva: vértices no sentido anti-horário).
- Área = |104| / 2 = 52.
- Perímetro = soma dos 5 lados = 8 + 5 + 5 + 5 + 5 = 28.
- Soma dos ângulos internos = (5 - 2) × 180° = 540°. Os ângulos medidos nos vértices somam 540°.
- Classificação: polígono irregular (lados ou ângulos diferentes), convexo.
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Para achar a área de um polígono irregular, informe as coordenadas dos vértices na ordem do contorno. A calculadora aplica a fórmula de Gauss, também chamada de fórmula do cadarço, e mostra a área, o perímetro, a medida de cada lado, cada ângulo interno e o desenho da figura. A página abre com uma casa de 5 vértices, de área 52.
Como funciona o cálculo
Polígono irregular é o que não é regular. Regular é o polígono com todos os lados da mesma medida e todos os ângulos internos iguais, como o quadrado. Basta uma diferença para ele ser irregular: o retângulo de 8 por 5 tem os quatro ângulos retos e lados diferentes, o losango que não é quadrado tem lados iguais e ângulos diferentes, e o triângulo escaleno não repete nem lado nem ângulo. A planta de um cômodo em L e a maioria dos terrenos também são polígonos irregulares.
Sem fórmula pronta para a figura, a saída clássica é decompor: cortar o polígono em triângulos e retângulos, calcular cada pedaço e somar. A casa que abre a calculadora é um retângulo de 8 por 5, de área 40, com um telhado triangular de base 8 e altura 3, de área 12: 52 no total. A divisão em triângulos também explica a soma dos ângulos internos: um polígono de n lados se divide em n - 2 triângulos de 180° cada, e a soma é (n - 2) x 180°. Ela vale para o polígono côncavo: no retângulo com entalhe em V da pergunta mais abaixo, os cinco ângulos medidos pela calculadora somam 540°.
A fórmula de Gauss faz a decomposição a partir das coordenadas. Para cada lado, do vértice ao próximo, calcule x do vértice vezes y do próximo menos x do próximo vezes y do vértice. A soma desses termos é o dobro da área com sinal: positiva quando os vértices seguem o sentido anti-horário, negativa no horário. A área é o valor absoluto dividido por 2. Escritas as coordenadas em duas linhas, as multiplicações cruzadas lembram um cadarço trançado, daí o outro nome da fórmula.
A ordem dos vértices importa. Eles precisam seguir a borda, um depois do outro. Se a lista pula de um lado da figura para o outro, dois lados se cruzam, o polígono deixa de ser simples e o número da fórmula não é a área desenhada. A calculadora confere cada par de lados e avisa quando isso acontece.
É o mesmo método da topografia: o manual técnico do INCRA para georreferenciamento de imóveis rurais manda calcular a área pela fórmula de Gauss, com as coordenadas cartesianas locais dos vértices. Aqui a conta é plana, para estudo e conferência, e não substitui o levantamento feito por profissional habilitado.
Para quadrado, retângulo, triângulo e círculo, a calculadora de área e perímetro usa a fórmula de cada figura. Polígonos com lados e ângulos iguais estão na página de polígonos regulares, com apótema e diagonais. A distância entre dois pontos do plano sai na calculadora de geometria analítica, e o piso de cômodos retangulares, na calculadora de metro quadrado.
Fórmula
2 × Área = |x1·y2 + x2·y3 + ... + xn·y1 - (x2·y1 + x3·y2 + ... + x1·yn)|
Área = |soma| / 2
Soma dos ângulos internos = (n - 2) × 180°
Perímetro = soma das distâncias entre vértices vizinhos
Base: fórmula de Gauss para áreas de regiões poligonais (R. R. Paterlini, Professor de Matemática Online, SBM, 2020), soma dos ângulos internos (Secretaria da Educação do Espírito Santo) e manual técnico de georreferenciamento do INCRA (2ª edição, 2022). Conta determinística, feita no navegador.
Exemplo com números
Uma casa desenhada no plano: um retângulo de 8 por 5 com um telhado triangular de altura 3 em cima.
O que foi informado
- Vértice A
- (0; 0)
- Vértice B
- (8; 0)
- Vértice C
- (8; 5)
- Vértice D
- (4; 8)
- Vértice E
- (0; 5)
O que a calculadora devolve
- Área
- 52
- Perímetro
- 28
- Soma dos ângulos internos
- 540°
- Classificação
- irregular, convexo
Pela decomposição, o retângulo de 8 por 5 dá 40 e o telhado de base 8 e altura 3 dá 12, os mesmos 52 da fórmula de Gauss. Os lados medem 8, 5, 5, 5, 5, e os ângulos não são todos iguais: é um pentágono irregular.
Os números acima saem da mesma função que a calculadora usa quando você preenche o formulário. Troque os valores no formulário para ver o seu caso.
Limitações
- De 3 a 20 vértices, com coordenadas entre -10.000.000 e 10.000.000 e até 4 casas decimais.
- Os vértices precisam seguir o contorno. Com lados que se cruzam, a calculadora avisa e não mostra área, porque a fórmula de Gauss só vale para polígono simples.
- Use a mesma unidade em x e em y. A área sai na unidade ao quadrado, e o resultado aparece arredondado em até 4 casas decimais.
- A conta é feita no plano. Não é levantamento topográfico nem medição para registro de imóvel.
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Cálculo auditável, com fórmula e fontes transparentes
Atualizado em . Fontes: Geometria plana (fórmula de Gauss para área por coordenadas).
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Fontes oficiais
- INCRA, Manual Técnico para Georreferenciamento de Imóveis Rurais, 2ª edição (2022)
- Secretaria da Educação do Espírito Santo: ângulos internos de polígonos regulares
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Perguntas frequentes
O que é um polígono irregular?
Polígono irregular é todo polígono que não é regular: tem pelo menos dois lados de medidas diferentes ou pelo menos dois ângulos internos diferentes. Regular é só o polígono com todos os lados e todos os ângulos iguais, como o quadrado e o triângulo equilátero. O retângulo que não é quadrado, o losango que não é quadrado, o triângulo escaleno e a maioria das plantas de terreno são polígonos irregulares.
Quais são exemplos de polígonos irregulares?
Um retângulo de 8 por 5 tem os quatro ângulos retos, mas lados diferentes. Um losango que não é quadrado tem os quatro lados iguais, mas ângulos diferentes. O triângulo escaleno, o trapézio, o pentágono em forma de casa que abre esta calculadora e a planta de um cômodo em L também são exemplos. Em todos eles há alguma diferença entre lados ou entre ângulos, e é isso que os separa dos polígonos regulares.
Como calcular a área de um polígono irregular?
Há dois caminhos. O primeiro é decompor a figura em triângulos e retângulos, calcular cada pedaço e somar. O segundo é a fórmula de Gauss: com as coordenadas dos vértices em ordem pelo contorno, some x de cada vértice vezes y do próximo, subtraia x do próximo vezes y do vértice e divida o valor absoluto do total por 2. Na casa de vértices (0; 0), (8; 0), (8; 5), (4; 8), (0; 5), os dois caminhos dão 52.
Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono irregular?
A mesma de qualquer polígono com o mesmo número de lados: (n - 2) x 180°. Um pentágono irregular soma 540°, como o regular. A diferença é que, no irregular, os ângulos não são todos iguais, então dividir a soma por n não dá a medida de cada um. A calculadora mede cada ângulo a partir das coordenadas e mostra a soma para conferir.
A fórmula de Gauss funciona para polígono côncavo?
Funciona, desde que os lados não se cruzem. O polígono de vértices (0; 0), (6; 0), (6; 4), (3; 2), (0; 4) é um retângulo de 6 por 4 com um entalhe em V no lado de cima. A fórmula dá área 18, o mesmo que tirar o triângulo do entalhe, de área 6, do retângulo de área 24. No fundo do entalhe o ângulo interno mede 247,3801°, acima de 180°, e por isso a figura é côncava.
Por que a ordem dos vértices importa?
A fórmula percorre a borda de um vértice ao próximo. Se a lista pula de um lado da figura para o outro, dois lados se cruzam e o polígono deixa de ser simples. Na ordem (0; 0), (4; 4), (4; 0), (0; 4), os lados se cruzam no meio, e a fórmula devolve 0, embora o desenho tenha dois triângulos de área 4 cada. A calculadora confere cada par de lados e avisa quando há cruzamento, em vez de mostrar uma área errada.
Serve para conferir a área de um terreno?
Serve para a conta plana. Com as coordenadas dos cantos do terreno em metros, todas medidas a partir de um mesmo ponto, a fórmula de Gauss dá a área em metros quadrados. É o método que o manual técnico do INCRA manda usar no georreferenciamento de imóveis rurais, com coordenadas no sistema geodésico local. Para registro, escritura ou georreferenciamento, a medição precisa ser feita por profissional habilitado, com o equipamento e o sistema de coordenadas que o órgão exige.