Polígonos regulares: ângulos, diagonais, apótema e área
Escolha o número de lados (de 3 a 60) e informe uma única medida, o lado, o apótema, o raio ou o perímetro: a calculadora reconstrói todas as outras, calcula o ângulo interno, o externo e o central, a soma dos ângulos, o número de diagonais e a área, e desenha o polígono com o círculo circunscrito, o raio e o apótema traçados. Cada fórmula aparece no passo a passo. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona este cálculo
Todo polígono regular de n lados cabe exatamente dentro de uma circunferência, com os vértices sobre ela. Esse encaixe organiza a geometria inteira: o centro enxerga cada lado sob um ângulo central de 360/n graus, e o triângulo formado pelo centro e por um lado, repetido n vezes, reconstrói a figura. É desse triângulo que saem as relações métricas: metade do lado, o apótema e o raio formam um triângulo retângulo, e a trigonometria entrega a = L / (2 tan(180/n)) e R = L / (2 sen(180/n)).
Os ângulos seguem contagens simples. Dividindo o polígono em triângulos a partir de um vértice, surgem n - 2 triângulos, e a soma dos ângulos internos vale (n - 2) vezes 180 graus; no polígono regular, cada ângulo interno é essa soma dividida por n. O externo é o suplemento do interno, e a soma de todos os externos vale sempre 360 graus, em qualquer polígono convexo, a famosa volta completa de quem caminha pelo contorno. As diagonais saem de n(n - 3)/2: cada vértice se liga a todos os outros, menos ele mesmo e os dois vizinhos.
A área usa a decomposição nos n triângulos centrais: cada um tem base L e altura igual ao apótema, então A = n vezes L vezes a sobre 2, que é o perímetro vezes o apótema sobre 2. A fórmula vale do triângulo equilátero ao polígono de 60 lados, e explica um fato bonito: conforme n cresce, o perímetro tende ao comprimento da circunferência e o apótema ao raio, e a fórmula vira a área do círculo, exatamente o caminho que Arquimedes usou para estimar pi. O desenho da calculadora mantém a proporção real entre raio e apótema para o encaixe ficar visível.
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Geometria plana conversa com vários temas. Veja o guia de área e perímetro de figuras planas, o guia de trigonometria (a ponte entre lado e apótema), a calculadora de ângulos e o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que e um poligono regular?
- E o poligono que tem todos os lados iguais E todos os angulos iguais ao mesmo tempo: triangulo equilatero, quadrado, pentagono regular, hexagono regular e assim por diante. As duas condicoes juntas garantem que ele cabe perfeitamente dentro de uma circunferencia (circunscrita) e em volta de outra (inscrita), o que da origem ao raio e ao apotema.
- Como calcular o angulo interno de um poligono regular?
- Primeiro a soma: (n - 2) vezes 180 graus, porque o poligono de n lados se divide em n - 2 triangulos. Depois divida por n. No hexagono: soma 720, angulo interno 120 graus. O angulo externo e o suplemento (180 menos o interno) e tambem sai direto de 360 / n, ja que dar a volta completa no poligono soma 360 graus.
- O que e o apotema e para que serve?
- E a distancia do centro ao MEIO de um lado (perpendicular ao lado). E o raio da circunferencia inscrita e a chave da formula de area: A = perimetro vezes apotema dividido por 2, que funciona para qualquer poligono regular. A relacao com o lado usa trigonometria: a = L / (2 tan(180/n)).
- Qual a diferenca entre apotema e raio?
- O raio vai do centro ao VERTICE (circunferencia circunscrita); o apotema vai do centro ao MEIO DO LADO (circunferencia inscrita). O raio e sempre maior que o apotema, e os dois se aproximam conforme n cresce, porque o poligono vai virando quase um circulo. No hexagono regular vale a propriedade famosa: o raio e igual ao lado.
- Como contar as diagonais de um poligono?
- Pela formula n(n - 3)/2: de cada um dos n vertices partem n - 3 diagonais (nao da para ligar a ele mesmo nem aos 2 vizinhos, que formam lados), e a divisao por 2 corrige a dupla contagem. O quadrado tem 2, o pentagono 5, o hexagono 9 e o icosagono 170.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Voce informa o numero de lados (3 a 60) e UMA medida (lado, apotema, raio ou perimetro), validadas antes da conta, e a calculadora reconstroi todas as outras com o desenho do poligono e o passo a passo auditavel.