Sistemas de Equações Lineares (2x2)
Resolva um sistema de duas equações e duas incógnitas pela regra de Cramer. Mostra a solução, classifica em SPD, SPI ou SI e traz o passo a passo com os determinantes.
Informe os coeficientes das duas equações do sistema, no formato a x + b y = c. A calculadora resolve pela regra de Cramer, classifica o sistema e mostra a solução, com a memória de cálculo.
Como funciona este cálculo
O método usa o determinante D dos coeficientes. Se D é diferente de zero, há solução única, dada por x igual a Dx sobre D e y igual a Dy sobre D. Se D é zero, o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma, conforme Dx e Dy.
Para o passo a passo com exemplos, veja o guia de sistemas de equações lineares. Para uma única equação, use a calculadora de equação do primeiro grau.
Fórmula
D = a1 x b2 - a2 x b1
Dx = c1 x b2 - c2 x b1 | Dy = a1 x c2 - a2 x c1
se D != 0: x = Dx/D, y = Dy/D
D = 0 e Dx = Dy = 0: infinitas | D = 0 e Dx ou Dy != 0: sem solução
Base: álgebra de sistemas lineares (regra de Cramer e classificação SPD/SPI/SI). Cálculo determinístico e auditável.
Limitações
- Resolve sistemas 2 por 2 (duas equações, duas incógnitas).
- Cada equação deve ter ao menos um coeficiente de incógnita diferente de zero.
- Aceita coeficientes negativos e decimais.
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Cálculo auditável, com fórmula e fontes transparentes
Atualizado em . Fontes: Álgebra de sistemas lineares (regra de Cramer e classificação).
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Perguntas frequentes
O que é um sistema de equações lineares?
É um conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau com as mesmas incógnitas, que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Em um sistema 2 por 2, temos duas equações e duas incógnitas, geralmente x e y. Resolver o sistema significa encontrar os valores de x e y que tornam todas as equações verdadeiras simultaneamente. Geometricamente, cada equação representa uma reta, e a solução é o ponto onde as retas se cruzam.
Quais são os métodos para resolver um sistema 2 por 2?
Os três métodos principais são a substituição, a adição e a regra de Cramer. Na substituição, isolamos uma incógnita em uma equação e a substituímos na outra. Na adição, somamos ou subtraímos as equações para eliminar uma incógnita. Na regra de Cramer, usamos determinantes para calcular diretamente o valor de cada incógnita. Todos levam ao mesmo resultado, e a escolha depende do gosto e do formato do sistema.
O que é a regra de Cramer?
A regra de Cramer resolve sistemas usando determinantes. Calculamos o determinante principal D com os coeficientes das incógnitas, e os determinantes Dx e Dy, trocando a coluna correspondente pelos termos independentes. Se D é diferente de zero, a solução é x igual a Dx dividido por D, e y igual a Dy dividido por D. É um método rápido e sistemático, especialmente útil quando se quer apenas o valor de uma das incógnitas.
O que significam SPD, SPI e SI?
São as três classificações de um sistema. SPD, sistema possível e determinado, tem solução única, e ocorre quando o determinante D é diferente de zero. SPI, sistema possível e indeterminado, tem infinitas soluções, e ocorre quando D, Dx e Dy são todos zero, pois as equações representam a mesma reta. SI, sistema impossível, não tem solução, e ocorre quando D é zero mas Dx ou Dy não é, pois as retas são paralelas distintas.
Como saber se um sistema tem solução única?
Um sistema 2 por 2 tem solução única quando o determinante principal D, igual a a1 vezes b2 menos a2 vezes b1, é diferente de zero. Geometricamente, isso significa que as duas retas têm inclinações diferentes e, portanto, se cruzam em um único ponto. Quando D é zero, as retas são paralelas, e o sistema ou não tem solução, se forem distintas, ou tem infinitas, se forem coincidentes.
Sistemas lineares aparecem em problemas do dia a dia?
Sim, com muita frequência. Eles modelam situações com duas quantidades desconhecidas relacionadas por duas condições, como descobrir o preço de dois produtos a partir de duas compras, calcular as idades de duas pessoas a partir de relações entre elas, ou misturar soluções com concentrações diferentes. Traduzir o enunciado para um sistema e resolvê-lo é uma das aplicações mais úteis da álgebra no cotidiano e nas provas.