Função do 2º Grau (parábola)

É a função no formato f de x igual a a vezes x ao quadrado, mais b vezes x, mais c, com a diferente de zero. O seu gráfico é uma parábola. Diferente da equação do segundo grau, que busca apenas os valores de x que zeram a expressão, a função estuda o comportamento completo: a concavidade, o vértice, o eixo de simetria, as raízes, as interseções e o conjunto imagem. Por isso ela é tão usada para modelar fenômenos.

A equação do segundo grau é a igualdade a x ao quadrado mais b x mais c igual a zero, e resolvê-la significa achar os valores de x que a satisfazem, ou seja, as raízes. A função do segundo grau é a expressão f de x igual a a x ao quadrado mais b x mais c, que associa a cada x um valor f de x, gerando uma parábola. As raízes da função são justamente as soluções da equação, mas a função traz muito mais informação, como o vértice e a imagem.

O vértice é o ponto de máximo ou de mínimo da parábola. Sua coordenada x é menos b dividido por duas vezes a, e sua coordenada y é menos o discriminante dividido por quatro vezes a, ou simplesmente o valor da função nesse x. Por exemplo, na função x ao quadrado menos 5 x mais 6, o vértice tem x igual a 2,5 e y igual a menos 0,25. O vértice é fundamental para achar o valor máximo ou mínimo em problemas de otimização.

A concavidade depende do sinal do coeficiente a. Se a é positivo, a parábola tem concavidade para cima, com formato de tigela, e o vértice é o ponto de mínimo. Se a é negativo, a concavidade é para baixo, com formato de cúpula, e o vértice é o ponto de máximo. Esse simples olhar para o sinal de a já diz se a função tem valor mínimo ou máximo, antes mesmo de qualquer cálculo.

Muitos problemas pedem o valor que maximiza ou minimiza uma grandeza, como o lucro máximo, a área máxima de um terreno ou a altura máxima de um projétil. Quando a grandeza é descrita por uma função do segundo grau, o ponto de máximo ou mínimo é exatamente o vértice da parábola. Assim, basta achar o vértice para resolver o problema de otimização, o que torna a função do segundo grau uma ferramenta poderosa.

As raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo x, e saem da fórmula de Bhaskara, existindo quando o discriminante é maior ou igual a zero. A interseção com o eixo y é simplesmente o valor de f de zero, que é igual ao coeficiente c. Assim, com poucos cálculos, conseguimos os principais pontos para esboçar o gráfico: as raízes, o ponto de corte no eixo y e o vértice.