Função modular e equações modulares
Analise a função modular f(x) igual ao módulo de ax mais b, com vértice, raiz, imagem e o gráfico em V, e resolva equações modulares dos dois tipos clássicos: módulo igual a um número e módulo igual a outro módulo. A calculadora separa os casos, mostra o passo a passo e o conjunto-solução em notação matemática. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona a função modular
O módulo, ou valor absoluto, transforma qualquer número no seu correspondente sem sinal: o módulo de 5 é 5, e o módulo de menos 5 também é 5. Geometricamente, ele mede a distância até o zero na reta numérica. Quando aplicamos o módulo a uma expressão do primeiro grau, nasce a função modular, cujo gráfico tem o formato de um V. A parte da reta que ficaria abaixo do eixo x é refletida para cima, porque o módulo descarta o sinal negativo.
O ponto mais importante do gráfico é o vértice, onde a expressão interna vale zero. Ali a função atinge o seu valor mínimo, que é zero, e o gráfico muda de direção. À esquerda e à direita do vértice, a função é simétrica: pontos à mesma distância do vértice têm o mesmo valor. Essa simetria é a chave para entender as equações modulares, porque uma equação como módulo igual a k pergunta quais pontos estão à distância k, e quase sempre há dois, um de cada lado.
Para resolver equações modulares, o método é abrir os casos. No tipo módulo igual a um número positivo, a expressão interna pode valer o número ou o seu oposto, gerando duas equações do primeiro grau. No tipo módulo igual a módulo, as expressões internas podem ser iguais ou opostas, gerando também dois casos. O cuidado essencial é com o lado direito negativo: como o módulo nunca é negativo, a equação não tem solução nesse caso, e reconhecer isso de imediato evita contas desnecessárias.
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A função modular conversa com vários temas. Veja a calculadora de inequações (que inclui as modulares), a função do primeiro grau, o módulo como resto da divisão e explore o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que e a funcao modular?
- E a funcao que aplica o valor absoluto a uma expressao, como f(x) igual ao modulo de ax mais b. Como o modulo nunca e negativo, o grafico tem o formato de um V: desce ate o vertice, que e o ponto onde a expressao interna vale zero, e sobe de novo. A imagem da funcao e o conjunto dos numeros maiores ou iguais a zero.
- Como achar o vertice da funcao modular?
- O vertice, ou bico do V, fica no ponto em que a expressao dentro do modulo zera. Para f(x) igual ao modulo de ax mais b, basta resolver ax mais b igual a zero, o que da x igual a menos b sobre a. Nesse ponto a funcao vale zero, que e o seu menor valor. O grafico e simetrico em relacao a reta vertical que passa pelo vertice.
- Como resolver a equacao modular |ax + b| = k?
- Depende do sinal de k. Se k for positivo, ha dois casos: a expressao interna igual a k e igual a menos k, o que da duas solucoes. Se k for zero, ha uma unica solucao, no ponto em que a expressao zera. Se k for negativo, nao ha solucao, porque o modulo nunca e negativo. A calculadora separa os casos e mostra cada conta.
- E a equacao com dois modulos, |ax + b| = |cx + d|?
- Dois modulos sao iguais quando as expressoes internas sao iguais ou opostas. Isso gera dois casos lineares: ax mais b igual a cx mais d, e ax mais b igual ao oposto de cx mais d. Cada caso da no maximo uma solucao, entao a equacao costuma ter duas solucoes. Casos especiais, como expressoes identicas, levam a infinitas solucoes.
- Onde a funcao modular aparece nas provas?
- Ela e cobrada no ensino medio, no ENEM e em vestibulares em questoes de grafico em V, translacoes, equacoes e inequacoes modulares e interpretacao de distancia, ja que o modulo de x menos a mede a distancia entre x e a na reta numerica. Tambem aparece em problemas de tolerancia e erro em contextos praticos.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os campos aceitam apenas numeros, e o resultado aparece em notacao matematica, com o passo a passo e o grafico em V quando o modo e o de analise da funcao.