Sistemas lineares com escalonamento passo a passo
Resolva sistemas 2x2 e 3x3 por eliminação de Gauss vendo exatamente o que acontece: cada operação elementar é registrada (L2 ← L2 - 2L1, trocas de linha quando o pivô zera) com a matriz aumentada do momento, a aritmética usa frações exatas para os passos saírem limpos, e a classificação diz se o sistema é SPD (solução única), SPI (infinitas) ou SI (impossível), com a solução em fração e em decimal. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona este cálculo
Um sistema linear pode ser reescrito como uma matriz aumentada: os coeficientes das incógnitas de um lado, os termos independentes do outro, separados por uma barra. As três operações elementares, trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra, mudam a aparência da matriz sem mudar o conjunto-solução do sistema. O escalonamento aplica essas operações com um objetivo: zerar tudo que está abaixo da diagonal, coluna por coluna, até a matriz ficar triangular.
Com a matriz triangular, a última linha tem uma única incógnita e se resolve com uma divisão; o valor sobe para a linha de cima, que passa a ter uma única incógnita desconhecida, e assim por diante, a retrosubstituição. Quando o pivô de uma coluna é zero, a calculadora troca a linha por outra de baixo com entrada não nula e registra a troca; quando nenhuma linha serve, a coluna já está zerada e o algoritmo segue, o que mais tarde se manifesta na classificação.
A classificação sai da forma escalonada: se alguma linha virou 0 = k com k diferente de zero, as equações se contradizem e o sistema é impossível (SI); se alguma linha zerou por completo, há equação redundante e o sistema tem infinitas soluções (SPI); caso contrário, a solução é única (SPD). A aritmética interna usa frações exatas com simplificação a cada passo, então um terço é 1/3 mesmo, e não 0,3333: além de os passos ficarem iguais aos do caderno, a detecção de zeros, que decide a classificação, nunca é vítima de erro de arredondamento.
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Sistemas conversam com matrizes e equações. Veja a calculadora de matrizes e determinantes (a regra de Cramer usa determinantes), o guia completo de matrizes, o resolvedor de equações do 1º grau e o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que e escalonar um sistema linear?
- E transformar o sistema, por operacoes elementares (trocar duas equacoes, multiplicar uma equacao por um numero nao nulo e somar a uma equacao um multiplo de outra), em um sistema triangular equivalente, em que a ultima equacao tem so uma incognita. Dai a solucao sobe por retrosubstituicao. E o metodo de eliminacao de Gauss, o mais eficiente para sistemas grandes.
- O que significam SPD, SPI e SI?
- SPD, sistema possivel e determinado: solucao unica, o caso comum. SPI, possivel e indeterminado: infinitas solucoes, e acontece quando uma linha zera por completo (0 = 0), sinal de equacoes redundantes. SI, impossivel: nenhuma solucao, e aparece quando uma linha vira 0 = k com k diferente de zero, sinal de equacoes contraditorias. O escalonamento revela o tipo automaticamente.
- O que fazer quando o pivo e zero?
- Trocar a linha do pivo por uma linha de baixo que tenha entrada nao nula naquela coluna. A troca de equacoes nao altera a solucao do sistema, e e uma das tres operacoes elementares permitidas. A calculadora faz a troca sozinha e registra o passo (L1 <-> L2) quando precisa.
- Por que a calculadora mostra fracoes em vez de decimais?
- Porque a aritmetica interna usa fracoes exatas: 1 dividido por 3 fica 1/3, e nao 0,3333. Isso evita erros de arredondamento que se acumulam a cada operacao e deixaria a classificacao SPD/SPI/SI insegura perto do zero. O resultado final tambem aparece em decimal, para conferencia.
- Escalonamento ou regra de Cramer: qual usar?
- A regra de Cramer resolve por determinantes e funciona bem no 2x2 e no 3x3 quando o determinante nao e zero, mas nao classifica sozinha o caso determinante igual a zero (pode ser SPI ou SI) e fica cara em sistemas maiores. O escalonamento resolve, classifica os tres tipos e escala para qualquer tamanho. Em prova, vale conhecer os dois.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os coeficientes aceitam numeros entre -999 e 999 com ate 2 casas decimais, validados antes da conta, e cada passo do escalonamento aparece com a matriz aumentada do momento, auditavel linha a linha.