Distribuição binomial e normal, com tabela Z
As duas distribuições de probabilidade mais cobradas, em uma calculadora: a binomial, com P(X = k), a acumulada P(X ≤ k), a cauda P(X ≥ k), a média e o desvio padrão; a normal, com o z-score calculado passo a passo para um ponto ou um intervalo; e a tabela Z completa, de 0,00 a 3,99, gerada por código e pronta para imprimir. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona este cálculo
A distribuição binomial modela a repetição de um experimento de dois resultados: sucesso, com probabilidade p, ou fracasso, com 1 - p, repetido n vezes de forma independente. A probabilidade de exatamente k sucessos junta dois ingredientes: o coeficiente binomial C(n, k), que conta de quantas formas os sucessos podem se espalhar pelas tentativas, e as potências p elevado a k vezes (1 - p) elevado a (n - k), que dão a probabilidade de cada arranjo específico. A calculadora computa os coeficientes com aritmética exata até n = 200 e entrega também a acumulada, a cauda direita e os momentos: média np e variância np(1 - p).
A distribuição normal é a curva em sino que aparece quando muitos efeitos pequenos e independentes se somam, das alturas de uma população aos erros de medição. Como existe uma normal para cada média e desvio, a saída é padronizar: o z-score z = (x - média) / desvio mede a posição de x em desvios padrão e transforma qualquer normal na normal padrão, a única que precisa de tabela. A área acumulada Phi(z) é calculada aqui por uma aproximação numérica clássica (Abramowitz-Stegun), com erro menor que um décimo de milionésimo, mais fino que as 4 casas da tabela escolar.
A tabela Z da página é gerada por código a partir dessa mesma função, em vez de copiada: linha 1,9 com coluna 0,06 dá Phi(1,96) = 0,9750, o valor por trás do famoso intervalo de confiança de 95%. As duas distribuições se encontram no teorema central do limite: para n grande, a binomial fica praticamente normal com a mesma média e o mesmo desvio, e é por isso que a curva em sino domina a estatística aplicada. Os limites de entrada (n até 200, desvio positivo, probabilidades entre 0 e 1) bloqueiam valores sem sentido antes da conta.
Continue estudando
Probabilidade e estatística andam juntas. Veja o guia de probabilidade, a calculadora de estatística descritiva, o Binômio de Newton e Triângulo de Pascal (a origem dos coeficientes C(n, k)) e o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que e a distribuicao binomial?
- E o modelo de n tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade p de sucesso, em que se conta o numero de sucessos. A probabilidade de exatamente k sucessos e C(n, k) p^k (1-p)^(n-k): o binomial conta de quantas formas os k sucessos se distribuem entre as n tentativas, e as potencias dao a probabilidade de cada arranjo. Vale para moedas, dados, itens defeituosos e questoes de multipla escolha chutadas.
- Qual a diferenca entre P(X = k), P(X <= k) e P(X >= k)?
- P(X = k) e a probabilidade pontual de exatamente k sucessos. P(X <= k) e a acumulada, somando de 0 ate k. P(X >= k) e a cauda direita, de k ate n. As provas adoram trocar 'pelo menos' (>=) por 'no maximo' (<=); traduzir o enunciado para o simbolo certo e metade da questao. A calculadora entrega as tres de uma vez.
- O que e o z-score e para que serve?
- E a distancia entre um valor x e a media, medida em desvios padrao: z = (x - media) / desvio. A padronizacao transforma qualquer normal na normal PADRAO (media 0, desvio 1), que e a unica tabelada. Um z de 1,5 significa um valor um desvio e meio acima da media, em qualquer escala: notas, alturas ou pesos.
- Como usar a tabela Z?
- A tabela da Phi(z) = P(Z < z) para z de 0,00 a 3,99: a linha traz a parte inteira e o primeiro decimal, a coluna traz o segundo decimal. Para z = 1,96, cruze a linha 1,9 com a coluna 0,06 e leia 0,9750. Para z negativo, use a simetria Phi(-z) = 1 - Phi(z). Para intervalos, subtraia: P(a < X < b) = Phi(z2) - Phi(z1).
- O que e a regra 68-95-99,7?
- Na distribuicao normal, cerca de 68,3% dos valores ficam a ate 1 desvio padrao da media, 95,4% a ate 2 desvios e 99,7% a ate 3. E o atalho mental para julgar se um valor e comum ou raro sem abrir tabela, e a base das faixas de referencia em exames medicos e controle de qualidade.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. A binomial usa aritmetica exata nos coeficientes (n ate 200), a normal usa uma aproximacao numerica classica com erro menor que 0,0000001 (a tabela escolar usa 4 casas), e todos os resultados vem com o passo a passo auditavel.