Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
Três ferramentas em uma: o Triângulo de Pascal montado até a linha que você pedir (até a 30), o coeficiente binomial C(n, k) com valor exato até n = 100, sem arredondamento, e a expansão completa de (ax + by) elevado a n, com os sinais corretos e a tabela termo a termo separando o binomial puro do coeficiente final. Tudo com passo a passo. É grátis e funciona no navegador.
Como funciona este cálculo
O coeficiente binomial C(n, k) conta de quantas formas dá para escolher k objetos entre n, sem importar a ordem. A definição usa fatoriais, mas a calculadora trabalha com a forma multiplicativa, em que os fatoriais grandes cancelam: para C(10, 4), basta multiplicar 10, 9, 8 e 7 e dividir por 4, 3, 2 e 1, dando 210. A simetria C(n, k) = C(n, n - k) reduz o trabalho pela metade, e a aritmética interna é exata, o que importa porque os binomiais crescem rápido: C(60, 30) tem 18 dígitos, além do que a aritmética comum de ponto flutuante representa sem erro.
O Triângulo de Pascal organiza todos os binomiais de uma vez: a linha n contém C(n, 0) até C(n, n), e cada número interno é a soma dos dois vizinhos de cima, a relação de Stifel. Essa regra de formação é o que liga o triângulo à expansão de potências: multiplicar (x + y) por si mesmo mais uma vez combina os coeficientes da linha anterior exatamente como a soma dos vizinhos. O triângulo ainda esconde padrões clássicos: a soma da linha n é 2 elevado a n, as primeiras diagonais trazem os números naturais e os triangulares, e colorir os ímpares desenha o fractal de Sierpinski.
A expansão de (ax + by) elevado a n aplica o termo geral T(k+1) = C(n, k) (ax)^(n-k) (by)^k para k de 0 a n. Quando a ou b são negativos, os sinais alternam conforme a paridade do expoente, a fonte clássica de erro em prova; a tabela termo a termo da calculadora separa o C(n, k) puro do coeficiente final já multiplicado pelas potências de a e b, para deixar visível de onde cada número vem. O limite de expoente 12 mantém a expansão legível na tela; para coeficientes de potências maiores, o modo C(n, k) cobre até n = 100.
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O binômio conversa com a combinatória e a álgebra. Veja a probabilidade, o guia de potenciação e radiciação, a calculadora de polinômios e o portal de matemática.
Perguntas frequentes
- O que e o Binomio de Newton?
- E a formula que expande qualquer potencia (x + y) elevado a n como uma soma de n + 1 termos: cada termo e C(n, k) vezes x elevado a (n - k) vezes y elevado a k. Os coeficientes C(n, k) sao os numeros binomiais, exatamente os da linha n do Triangulo de Pascal. A formula evita multiplicar o binomio por ele mesmo n vezes.
- O que e o Triangulo de Pascal?
- E o triangulo numerico em que cada linha comeca e termina em 1 e cada numero interno e a soma dos dois vizinhos de cima (relacao de Stifel). A linha n traz os coeficientes da expansao de (x + y) elevado a n, na ordem. Ele tambem guarda padroes famosos: a soma da linha n vale 2 elevado a n, e as diagonais trazem os numeros triangulares.
- Como calcular C(n, k) sem fatorial gigante?
- Pela forma multiplicativa: C(n, k) e o produto de k fatores decrescentes a partir de n, dividido por k fatorial, e os fatoriais grandes cancelam antes de qualquer conta. Pela simetria C(n, k) = C(n, n - k), vale escolher o menor k. A calculadora usa aritmetica exata, entao C(60, 30) sai com os 18 digitos corretos, sem arredondamento.
- Qual e o termo geral da expansao binomial?
- T(k+1) = C(n, k) a^(n-k) b^k, para (a + b) elevado a n, com k comecando em 0. E a formula das questoes que pedem um termo especifico, como o termo em x ao cubo ou o termo independente de x: monta-se o expoente desejado, resolve-se para k e calcula-se so aquele termo, sem expandir tudo.
- Por que a soma da linha n do triangulo vale 2 elevado a n?
- Porque somar C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) conta todos os subconjuntos de um conjunto com n elementos, e cada elemento tem 2 escolhas (entrar ou nao entrar), dando 2 elevado a n no total. E o mesmo resultado de substituir x = y = 1 no Binomio de Newton.
- Os meus dados sao enviados para algum servidor?
- Nao. Todo o calculo acontece no seu navegador, sem cadastro e sem enviar nada para fora. Os campos aceitam apenas inteiros dentro de limites seguros (linha ate 30, n ate 100 no coeficiente, expoente ate 12 na expansao), e os resultados usam aritmetica exata, com o passo a passo auditavel.